Nato a Catania, l'otto settembre 1984, mostra fin da piccolo un'inclinazione per la musica, inizia infatti lo studio della chitarra classica all'età di otto anni. Da bambino vinse numerosi concorsi di chitarra classica, debuttando anche come solista, il suo talento era talmente evidente da essere considerato un enfant prodige nell'ambiente della chitarra classica. 

A quattordici anni lascia temporaneamente la chitarra per dedicarsi alla musica elettronica.

Subito dopo il liceo, a diciannove anni, scopre il Jazz, che diventerà il suo principale canale espressivo. Si è subito fatto notare dall'ambiente jazzistico siciliano prima di frequentare nel 2006 gli Umbria Jazz Clinics di Perugia . In questa occasione potrà partecipare a prestigiose masterclass tenute da professori e musicisti di fama internazionale nonché professori del prestigioso Berklee College Of Music di Boston , quali: Ken Cervenka, Ron Savage, Dennis Montgomery III, Donna McElroy, David Clark, Michael Williams, David Howard, Sheryl Bailey, Suzanna Sifter, James Odgren e Larry Monroe e Bruno Tommaso.

Nel 2007, attraverso la fondazione Siena Jazz , ha vinto una borsa di studio per rappresentare l'Italia presso la IASJ (International Association Schools of Jazz) a Riga, Lettonia. Qui parteciperà a corsi di Alta Perfezionamento con Claudio Fasoli, Pietro Condorelli, Paolino Dalla Porta, Enrico Rava, Tommaso Lama e Giovanni Mayer.

Nello stesso anno, durante Siena Jazz, viene notato dal trombettista Enrico Rava che decide di coinvolgerlo in tournée con la sua band Enrico Rava Special Edition , Rava dirà presto di Claudio:

“Un chitarrista davvero incredibile, credo di non averne mai sentito uno così in Italia, si chiama Quartarone, è di Catania, come Francesco Cafiso, quella zona sta dando musicisti mostruosi”.

Nel 2008 inizia a collaborare con l' etichetta RAI TRADE (l'etichetta della RAI) che vedrà l'uscita dei tre album Even Eight, The Third Boss Guitar, Elevator .

Nel 2010 apre il concerto per Paolo Fresu e Omar Sosa al Teatro Metropolitan di Catania.

Nel 2011 l' etichetta Comar23 produce e distribuisce il nuovo album dei Quartarone dal titolo Subliminal .

Dal 2011 al 2016 ha pubblicato un gran numero di uscite digitali che spaziano dal jazz alla contaminazione elettronica, sperimentando nuove forme di comunicazione musicale, collaborando con Video Artists. Sempre alla ricerca di nuovi linguaggi nel mondo musicale contemporaneo.

Nel 2015 ha realizzato le musiche per il DVD ispirato al best seller internazionale Think and Grow Rich di Napoleon Hill intitolato Think and learn big prodotto e promosso dalla Napoleon Hill Foundation con sede negli Stati Uniti.

Nello stesso anno, una traccia dell'album Calling Any Station è stata selezionata come colonna sonora per lo spot pubblicitario del marchio VOR .

La stampa su Claudio Quartarone è numerosa e unanimemente definito un talento straordinario, è citato anche nei più importanti siti di cultura jazz italiana, giornali e riviste: JAZZIT, JazzEspresso, All About Jazz, JazzItalia, Guitar Club Magazine, Neuguitars.

A gennaio 2018 ha pubblicato il suo primo libro dal titolo “Metodo per chitarristi improvvisatori” edito da produzioni Workin'Label.

Per la stessa etichetta a maggio 2018 esce un nuovo album intitolato Changes , eseguito interamente in chitarra solista.

A marzo 2019 un nuovo album, Equilibrium , viene distribuito in tutti i digital store.

Tra le altre realizzazioni, la compagnia australiana Valiant Samples , ha costruito un plug-in basato sul suono elettrico di Claudio chiamato Quartarone Guitar Reveries . Questo strumento è stato utilizzato da Burkhard Dallwitz e altri grandi compositori.

During his career he plays with some of the most important musicians of the national and international jazz scene including: Francesco Cafiso, Enrico Rava, Yussef Dayes, Rocco Palladino, Umberto Fiorentino, Daniele Tittarelli, Fabrizio Sferra, Giovanni Guidi, Mauro Ottolini, Stefano Senni, Dino Rubino, Dan Kinzelman, Andrea Beneventano, Joao Lobo, just to name a few.

-2022 lavoro al progetto Anamorfosi insieme a Umberto Fiorentino per la Birdbox Records stili e influenze differenti uniscono due unicità, che a loro volta diventano, straordinariamente, una sola.